Le equazioni e le disequazioni

Nel capitolo 10, ci concentreremo sulle equazioni e le disequazioni, partendo da concetti fondamentali quali identità, equazioni e i principi di equivalenza. Un’ identità algebrica è un'uguaglianza tra due espressioni letterali che è sempre vera per qualsiasi valore delle variabili, rappresentabile attraverso una bilancia in equilibrio. Ad esempio, l'uguaglianza a + b = b + a è un'identità.

Incontriamo poi le equazioni, definibili come uguaglianze valide solo per specifici valori delle variabili, chiamati incognite. Le soluzioni di un'equazione sono i valori che permettono che l'uguaglianza sia vera: ad esempio l'equazione x + 3 = 7 ha come soluzione x = 4.

Esponiamo il concetto di equazioni equivalenti, che sono due equazioni con le stesse soluzioni. Operando su un'equazione con i principi di equivalenza possiamo passare a un’equazione equivalente, ad esempio sommando o sottraendo un numero a entrambi i membri. Il primo principio di equivalenza afferma che se sommiamo o sottraiamo la stessa quantità, otteniamo un'equazione equivalente. La regola del trasporto e la regola di cancellazione derivano dal primo principio e consentono di mantenere equivalenti le due equazioni mentre si muovono i termini da un membro all'altro.

Affrontiamo anche il secondo principio di equivalenza, secondo il quale moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per un numero diverso da zero mantiene l'equazione equivalente, ma attenzione: se il numero è negativo, bisogna invertire il verso della disequazione. Ad esempio, 2x - 3 > 1 diventa x < 2 se dividendo per 2.

La forma normale di un'equazione è quella in cui tutti i termini sono spostati a sinistra per creare un polinomio uguale a zero, come in P(x) = 0. Il grado dell’equazione è determinato dall'esponente più alto della variabile.

Passiamo a risolvere le equazioni lineari. Il metodo consiste nel portare i termini con l'incognita da un lato e i termini costanti dall'altro, avvalendosi delle regole sopra riportate. Se arriviamo a una forma ax = b, possiamo facilmente determinare il valore di x a condizione che a ≠ 0.

Vi introduciamo anche le disequazioni che, similmente alle equazioni, esprimono relazioni quantitativa tra due espressioni, utilizzando simboli come >, <, >=, <=. Le disequazioni, tuttavia, a differenza delle equazioni, possono risultare vere o false a seconda dei valori delle incognite. La risoluzione delle disequazioni segue regole simili, ma richiede particolare attenzione al segno quando si moltiplica o divide per un numero negativo.

Infine, esaminiamo i sistemi di disequazioni, dove dobbiamo risolvere più disequazioni simultaneamente e considerare solo le soluzioni comuni. La rappresentazione grafica spesso aiuta a visualizzare intersezioni tra le soluzioni, e da ciò possiamo dedurre se un sistema sia impossibile, indeterminato, o abbia soluzioni valide in un certo intervallo.

Per concludere, il nostro approccio su equazioni e disequazioni non solo getta le basi matematiche ma fornisce gli strumenti per risolvere problemi pratici che si possono incontrare nel mondo reale, come nella valutazione delle equazioni economiche riguardanti costi e rendimenti.

Equazioni e Disequazioni: Concetti Fondamentali e Risoluzioni

Equazioni e Disequazioni: Concetti Fondamentali e Risoluzioni