Grundzüge der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften

Einleitung

In diesem Kapitel werden die Grundlagen von Funktionen und deren Verknüpfungen erläutert, um den Zusammenhang von Variablen in wirtschaftswissenschaftlichen Modellen präzise zu beschreiben. Die einfacher formulierten Grundfunktionen reichen oft nicht aus; daher betrachten wir verschiedene Arten von Verknüpfungen.

Verknüpfungen von Grundfunktionen

Es gibt mehrere Arten von Verknüpfungen von Grundfunktionen, einschließlich:

Multiplikation einer Funktion mit einer Konstanten
Summen und Differenzen zweier Funktionen
Produkte und Quotienten zweier Funktionen
Verkettung (Hintereinanderausführung) zweier Funktionen
Geometrische Anpassungen: Verschiebungen, Streckungen, Stauchungen und Spiegelungen an den Koordinatenachsen

Beispiele für Funktionsverknüpfungen

Ein Beispiel zur Veranschaulichung der Durchschnittskosten:

Die Kosten für x Einheiten eines Gutes sind gegeben durch C(x) = x³ + 1. Die Durchschnittskosten A(x) ergeben sich zu:
A(x) = C(x) / x = x² + 1/x, für x > 0.

Hierbei handelt es sich um die Summe von zwei Funktionen, wo f₁(x) = x² und f₂(x) = 1/x.

Summen und Differenzen von Funktionen

Die Definition von Summen und Differenzen zweier Funktionen lautet:

Seien f und g zwei Funktionen mit den Definitionsbereichen D_f und D_g. Dann sind die Summe und die Differenz definiert durch:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), x ∈ D_f ∩ D_g
(f - g)(x) = f(x) - g(x), x ∈ D_f ∩ D_g

Polynome

Ein Polynom ist eine Funktion der Form p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ und der Definitionsbereich ist D_p = ℝ (alle reellen Zahlen).

Beispiel für Polynome

Ein Unternehmen bietet ein Produkt zu einem Preis an, der von der abgenommenen Menge x abhängt:

p(x) = (10x + 110) / (x + 10)

Die zu zahlende Summe P(x) ergibt sich als Produkt:

P(x) = p(x) · x = (10x + 110) / (x + 10) · x.

Produkte und Quotienten von Funktionen

Die Definition für Produkte und Quotienten lautet:

Sei f und g zwei Funktionen mit den Definitionsbereichen D_f und D_g. Dann sind:
(f · g)(x) = f(x) · g(x), x ∈ D_f·g = D_f ∩ D_g
(f / g)(x) = f(x) / g(x), x ∈ (D_f ∩ D_g) \ {x ∈ ℝ : g(x) = 0}

Beispiel für Produkte

Für die Funktionen f(x) = √x und g(x) = ln(x) sind die Produkte und Quotienten wie folgt definiert:

(f·g)(x) = √x · ln(x), D_f·g = ℝ₊

Rationale Funktionen

Rationale Funktionen sind Quotienten von zwei Polynomen:

R(x) = (a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀) / (b_mx^m + b_m-1x^m-1 + ... + b₁x + b₀)

Bestimmung des Definitionsbereichs

Um den Definitionsbereich einer rationalen Funktion zu bestimmen, muss sichergestellt sein, dass der Nenner nicht null ist.

Verkettung von Funktionen

Die Verkettung von Funktionen erfolgt durch die Substitution einer Funktion in die andere, wie im Beispiel der Nachfrage N(P(t)) = 10 - 0.5P. Hierbei wird für P(t) der Preis in Abhängigkeit von der Zeit eingesetzt.

N(P(t)) = 10 - 0.5(0.01·2^t) = 10 - 0.005·2^t

Definition der Verkettung

Gegeben seien zwei Funktionen f und g, deren Definition wie folgt lautet:

(f ◦ g)(x) = f(g(x)), D_f◦g = {x ∈ D_g : g(x) ∈ D_f

Umkehrfunktionen

Sind f und g umkehrbare Funktionen, so ist auch die Verkettung umkehrbar, wobei gilt:

(f ◦ g)⁻¹(x) = g⁻¹(f⁻¹(x))

Geometrische Anpassungen

Geometrische Anpassungen einer Funktion beinhalten Veränderungen wie:

Verschiebungen um einen Wert y₀ in der y-Richtung und um einen Wert x₀ in der x-Richtung
Streckungen und Stauchungen, abhängig von den Faktoren c und a
Spiegelungen an den Koordinatenachsen

Zusammenfassung

Die behandelten Themen sind grundlegend für das Verständnis der Mathematik in Wirtschaftswissenschaften und bieten die nötigen Werkzeuge, um Modelle und deren Variablen präzise zu analysieren. Kenntnisse über Funktionen, Verknüpfungen und deren geometrische Anpassungen sind Voraussetzung für weitergehende Analysen.

Verknüpfungen von Funktionen in der Wirtschaftsmathematik

Verknüpfungen von Funktionen in der Wirtschaftsmathematik