# Tillämpad statistik: Stratifierat urval ## Introduktion I tillämpad statistik är det vanligt att urvalsramar innehåller fler variabler än de som används för identifiering. Till exempel kan en urvalsram med personnummer ge information om kön och ålder. En central fråga är huruvida denna extra information kan utnyttjas för att förbättra urvalsprocesserna. I situationer där hjälpinformationen är en kategorivariabel kan stratifierat urval genomföras. För kontinuerliga hjälpvärden kan dessa kategoriseras för att möjliggöra stratifiering. ## Stratifiering ### Definition av stratifiering Stratifiering innebär att en ändlig population $ U = \{ 1, 2, \ldots, N \} $ delas upp i $ K $ disjunkta delpopulationer $ U_1, U_2, \ldots, U_K $. Populationsstorleken $ N $ kan beräknas som summan av storlekarna i varje stratum: \[ N = N_1 + N_2 + \ldots + N_K = \sum_{j=1}^K N_j \] #### Medelvärde och total i populationen - **Populationsmedelvärde**: \[ \bar{X} = \frac{N_1 \bar{X}_1 + N_2 \bar{X}_2 + \ldots + N_K \bar{X}_K}{N} = \sum_{j=1}^K \frac{N_j \bar{X}_j}{N} \] där $ \bar{X}_j $ är medelvärdet inom stratum $ j $. - **Populationstotal**: \[ T = N_1 \theta_1 + N_2 \theta_2 + \ldots + N_K \theta_K = \sum_{j=1}^K N_j \theta_j \] där $ \theta_j $ är totalen för stratum $ j $. - **Populationsandel**: \[ p = \frac{N_1 p_1 + N_2 p_2 + \ldots + N_K p_K}{N} \] där $ p_j $ är andelen i stratum $ j $. ## Stratifierat urval i NTU2019 Enligt rapporten NTU 2019 utfördes en stratifierad obunden slumpmässigt urval av personer mellan 16 och 84 år. Det definierades 188 befolkningsskikt (strata) baserat på lokalpolisområde och åldersklasser. ## Stratifierat urval: Koncept och metodik ### Stratifierat urval Stratifierat urval innebär att urval dras oberoende från varje stratum $ U_j $. Den totala stickprovsstorleken kan beräknas som: \[ n = n_1 + n_2 + \ldots + n_K = \sum_{j=1}^K n_j \] där $ n_j $ är stickprovsstorleken i stratum $ j $. ### Exempel på stratifiering med R Här visas hur en urvalsram kan skapas och stratifieras utifrån kön i R: ```R # Skapa en urvalsram som exempel id <- c(5, 7, 44, 41, 99, 101, 6) namn <- c("Alex", "Robin", "Kim", "Charlie", "Tintin", "Lo", "Kim") tfn <- c(4443344, 633223, 3335664, 322112, 73344, 42224, 5435732) adress <- c("Storgatan 1", "Kungsgatan 4", "Drottninggatan 6", "Backvägen 33", "Storgatan 7", "Lillgränd 6", "Skogsvägen 90") kon <- c("man", "kvinna", "man", "kvinna", "kvinna", "man", "kvinna") ram <- data.frame(id = id, namn = namn, tfn = tfn, adress = adress, kon = kon) # Stratifiera urvalsramen utifrån kön ram_1 <- subset(ram, kon == "kvinna") ram_2 <- subset(ram, kon == "man") # Välj stratumspecifika urvalstorlekar n1 <- 2 n2 <- 2 # Välj stratumspecifika urval idnr_osu_ua_1 <- sample(ram_1$id, n1, replace = FALSE) idnr_osu_ua_2 <- sample(ram_2$id, n2, replace = FALSE) # Välj rader i respektive stratum-ram osu_ua_1 <- ram_1[which(ram_1$id %in% idnr_osu_ua_1), ] osu_ua_2 <- ram_2[which(ram_2$id %in% idnr_osu_ua_2), ] # Sammanställ stratumspecifika urval till ett urval strat_urval <- rbind(osu_ua_1, osu_ua_2) ``` ## Estimation vid STOSU ### Skattning av parametrar #### Mål och estimatorer 1. **Skatta populationsmedelvärdet**: \[ \hat{\mu}_{st} = \frac{N_1 \bar{X}_1 + N_2 \bar{X}_2 + \ldots + N_K \bar{X}_K}{N} \] 2. **Skatta populationstotalen**: \[ \hat{T}_{st} = N_1 \hat{\theta}_1 + N_2 \hat{\theta}_2 + \ldots + N_K \hat{\theta}_K \] 3. **Skatta populationsandelen**: \[ \hat{p}_{st} = \frac{N_1 \hat{p}_1 + N_2 \hat{p}_2 + \ldots + N_K \hat{p}_K}{N} \] #### Bias och precision För att utvärdera vår estimator måste vi fastställa: 1. Om estimatorn $ \hat{\mu}_{st} $ är väntevärdesriktig (vvr). 2. Vilken precision den besitter jämfört med det sanna medelvärdet $ \mu $. ### Bias och varians **Väntevärdeersättning**: \[ E(\hat{X}_{st}) = \sum_{j=1}^K \frac{N_j}{N} E(\hat{X}_j) = \mu \] Detta visar att $ \hat{X}_{st} $ är vvr. **Varians av stickprovsmedelvärdet**: \[ V(\hat{X}) = \left( \frac{N-n}{N-1} \right) \sigma^2_n \] Där $ \sigma^2_j $ är populationsvariansen i stratum $ j $. ## Planering av ett stratifierat urval ### Steg i planeringen 1. **Val av stratifieringsvariabel**: Hög korrelation mellan stratifieringsvariabeln och undersökningsvariabeln är önskvärd. 2. **Antal strata**: För många strata ger en marginal förbättring av precisionen. 3. **Allokering av urval**: Förhållandet mellan stratumstorlekar och variabilitet. 4. **Urvalsstorlek**: Bestäms utifrån populationens struktur och stratifieringens syfte. ### Allokering och nedbrytning Allokering av stickprov bör ta hänsyn till: - Antalet element i varje stratum. - Variation inom varje stratum. - Eventuella specifika intressegrupper som kan kräva översampling. ### Exempel: Neyman-allokering och proportionell allokering Neyman-allokering tar hänsyn till både storlek och varians i strata, medan proportionell allokering enbart tar hänsyn till stratumstorlekar. Den senare ger en enkel metod för allokering, där alla element i populationen har samma inklusionssannolikhet. ## Fördelar och nackdelar med stratifierat urval ### Fördelar - Kontrollerad precision för delgruppering av data. - Ofta mindre storlek på det totala stickprovet än för OSU. ### Nackdelar - Tidskrävande process. - Kräver träffsäker hjälpinformation. - Mer komplicerat att utföra statistisk inferens än med enklare urvalsmetoder. ### I sammanfattning erbjuder stratifierat urval många fördelar i statistikens praktiska tillämpning, särskilt i fall där populationens egenskaper varierar kraftigt. Med välutförda planerings- och genomförandeprocesser kan stor noggrannhet i resultat uppnås.